TEORIA DE CONJUNTOS
Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a e S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a e S o a  S (esto es, a no pertenece a S).
Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S1 = {2, 4}; S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}; S3 = {x | x2- 6x + 11 ≥ 3}; S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}. S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2- 6x + 11 ≥ 3.
2.1
Subconjuntos y superconjuntos
Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R Ì S, o S É R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R Ì S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R Ì S y S É R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 es un subconjunto propio de S2.
2.2
Unión e intersección
Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A È B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A Ç B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Æ. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A È B = {2, 4, 6, 8, 10}, A È C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A Ç B = {4, 6} y A Ç C = Æ.
2.3
Diferencia y complementario
El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto l, el conjunto de los elementos que pertenecen a l pero no a A, es decir, l - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a l), lo que se escribe l - A = A′ (que también puede aparecer como Ā, Ã o ~A).
4
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A × B≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).
5
CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS
Los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante una correspondencia f con los del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le corresponda uno, ninguno o varios elementos de B. Por ejemplo:
Esto se puede expresar también así: f(1) = {x, z}, f(2) = Æ, f(3) = {z}. También se puede decir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}. Por tanto, una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.
Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación.


Estos diagramas muestran diversas formas de agrupar objetos, o elementos, de dos conjuntos. R es un subconjunto de S si todo elemento de R también pertenece a S (superior izquierda). Por ejemplo, los números impares R = {1,3,5,7,9} son un subconjunto del conjunto de números enteros S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. La unión de A y B es un conjunto formado por todos los elementos de A y todos los de B (superior derecha). Por ejemplo, si A = {2,3,4,5} y B = {4,5,6,7}, entonces AÈB = {2,3,4,5,6,7}. La intersección de A y B son los elementos comunes a ambos (inferior izquierda). Por ejemplo, AÇB = {4,5}. La diferencia de B menos A son los elementos de B que no pertenecen a A (inferior derecha). Por ejemplo, B - A = {6,7}.

COMENTARIO:
Es muy fundamental saber a que tipo de conjuntos se refiere ya que existen varios conjuntos como la unión de conjuntos entre otros sin embargo la teoría de conjuntos hoy lo consideran se suma importancia.

TEORIA DEL CONTEO

Análisis combinatorio o técnicas de conteo.
Para establecer el numero de combinaciones o permutaciones en cierto experimento no necesariamente se debe contar en forma directa, existen métodos mucho mas precisos uno de ellos es conocido como “EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO”. Si un cuento puede efectuarse n1 veces, de manera diferente, entonces otro evento puede efectuarse n2 veces, asi sucesivamente entonces el numero de maneras diferentes que se pueda efectuar el experimento es (n1)(n2)(n3).
COMENTARIO
En si es contar el numero de eventos que cumplen un conjunto de condiciones, el cual nos va a servir para poder calcular la probabilidad de un suceso o evento, y cuando el numero de eventos posibles es muy grande se podrá utilizar el mismo.
PERMUTACIONES
Una permutación es cualquier subconjunto ordenado de un conjunto universal. Es decir se llama permutación de n elementos a los diferentes grupos que pueden hacerse tomándolos todos a la vez.
Una ordenación de numero “R” de dichos objetos, donde “R” es Existe permutación con repetición. EJEMPLO:
P(n;r)= n!
(n-r)!
COMENTARIO
Básicamente nos demuestra un arreglo ordenado de objeto determinado, en si las permutaciones es la forma de cómo van ir ordenadas.

COMBINACIONES
El numero de conjunto diferentes, con r elementos cada uno, que puede formarse de un conjunto de n elementos (n>r), se llama combinación de n elementos tomando r a la vez.
Ejemplo.
¿De cuantas formas pueden repetirse seis cartas de una baraja de 52?

C(52,6)=(52/6)= 52! . 52*51*51*49*48 = C=9024 formas
61.48! 6*5*4*3*2*1*48
COMENTARIO
En las combinaciones es aquel arreglo de objetos en el cual no va importar el orden y la formula que se usa es: nCr.

PROBABILIDAD.
Mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. El experimento tiene que ser aleatorio, es decir que puede presentarse diversos resultados dentro de un conjunto posible de soluciones.

ü Experimento que es no aleatorio.
Quiere decir que no interviene el azar entonces no lo estudia la probabilidad porque ya sabemos lo que va a pasar.

ü Suceso elemental.
Es la posibilidad que existe de soluciones de un fenómeno. Por ejemplo en un dado hay 6 posibilidades (sucesos elementales)

ü Sucesos compuestos.
En un subconjunto de los sucesos elementales por ejemplo un dado tiene 6 sucesos elementales y que posibilidad hay de que caiga un numero par.

PROBABILIDAD


SUBJETIVA., ENFOQUE CLASICO


OBJETIVA. ENFOQUE RELATIVISTA

La probabilidad hace la relación con el numero de resultados de éxito al total de resultados posibles que puede ser subjetiva u objetiva. La primera refleja la percepción de quien la emite y la segunda es el resultado de cálculos.
LA PROBABILIDAD OBJETIVA. Bajo el enfoque clásico supone que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por ejemplo si en una caja existe 50 manzanas y 200 naranjas cual es la probabilidad de que al hacer una extracción sea una naranja.
Ejemplo
P(N)= 200 .
200+50

P(N)= 0.8= 80% es la posibilidad de agarrar una naranja.

PROBABILIDAD SUVJETIVA. Existen naranjas y manzanas.
Si se extrae 80 naranjas de 100 extracciones cual es la probabilidad de que sean naranjas.

P(N)= 80
100

P(N)= 0.8= 80%

COMETARIO
La probabilidad nos enseña y nos demuestra cual es la probabilidad de que suceda determinado fenómeno y para saber o comprobarlo se necesitan de experimentos, y hay 3 clases de experimentos los cuales son: EXPERIMENTO QUE ES NO ALEATORIO, SUCESO ELEMENTAL Y SUSESO COMPUESTO.

ESPACIO MUESTRAL
Se le llama así al conjunto de todos los posibles sucesos elementales es decir un conjunto con todas las soluciones posibles.

COMENTARIO
El espacio muestral se usa o lo usamos básicamente para hacer un arreglo ordenado de todos los posibles resultados que se puedan dar en un fenómeno.

AXIOMAS.

Un evento es el resultado posible un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos.
Los eventos se clasifican de la siguiente forma.

a. MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo
Ejemplo. (Cara o escudo de una moneda)
b. INDEPENDIENTES
Estos no se ven afectados por otros.
Ejemplo. (el color de zapatos y la probabilidad de que llueva hoy)
c. DEPENDIENTES.
Cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otros.
Ejemplo. (Repaso y calificaciones)
d. NO EXCLUYENTES ENTRE SI.
Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro.
Ejemplo. (Que una persona sea doctor y que tenga 56 años.)

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presenten uno u otro evento la probabilidad total se forma con la suma directa de las probabilidades.

P(AOB)=P(A)+P(B)

En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad que ocurran ambos eventos esta incluida en ellos esa probabilidad de la suma directa (regla general de la suma de probabilidades.)

ARBOL DE LA PROBABILIDAD
Un árbol de probabilidad es una grafica que representa los resultados posibles de un evento así como la probabilidad de ocurrencia.
COMENTARIO:
En el curso de estadística es de suma importancia pues ayuda de cierta manera a poder definir un evento que como dice representa muchos resultados posibles.

ESPERANZA MATEMATICA:
Con frecuencia es conveniente calcular que el promedio de los resultados o experimentos, ponderado por la probabilidad de que suceda cada uno de los resultados posibles.
La esperanza matemática permite comprar 2 o mas alternativas.

COMENTARIO:
Basicamente la esperanza matematica es aquella que se encarga de calcular el promedio de algún fenómeno dado en el cual se puedan dar varios resultados en el que se pueden hacer 2 o mas comparaciones.

CLASES DE TENDENCIA

TNEDENCIA CONSTANTE.

Generalmente esta tendencia debe igualar a cero cuando se tiene esa estimación final. El valor para esta constante suele ser indicativa, de problemas de condicionamiento en datos.

TENDENCIA ESTOCASTICA

La tendencia estocástica también suele llamarse histórica ya que se toma como sucesiones de variables aleatorias, siendo su índice el tiempo, son observaciones tomadas a intervalos iguales con lo cual las aplicaciones visuales corresponden a datos observados cada año, cada mes

COMENTARIO

LA TENDENCIA CONSTANTE es una tendencia que mantiene un mismo rango en sus datos es decir que no varian con forme pasa el tiempo.

LA TENDENCIA ESTOCASTICA tambien llamada y son observaciones tomadas de datos observados cada año.

SERIES TEMPORALES ESTACIONARIAS

Una serie estacionaria es cuando toma valores diferentes en diferentes periodos de tiempo que se repiten, es decir, para datos mensuales, si los valores correspondientes a enero son diferentes a los valores que toma la serie de agosto.

También podemos definir una serie estacionaria como aquella en la que ni la media ni la varianza, ni las cuatro correlaciones dependen del tiempo, una vez estabilizada la serie mediante las transformaciones adecuadas.

SERIES TEMPORALES NO ESTACIONARIAS

Los procesos no estacionarios más comunes son los procesos integrados. Este es un proceso que se caracteriza por que esta integrada en un orden.

También en una serie no estacionaria la media y la variabilidad cambian con el tiempo.

El cambio en la media se traduce la presencia de una tendencia de la serie a crecer o decrecer

COMENTARIO

LAS SERIES ESTACIONARIAS nos muestran graficas que varian su valores dependiendo del tiempo y es donde la media ni la varianza dependen del tiempo.

LAS SERIES NO ESTACIONARIAS en las no estacionarias son lo contrario de las estacionarias ya que la media y la variabilidad si dependen del tiempo y varian dependiendo de la misma.

 Series de Tiempo

Una serie temporal o cronológica es un conjunto e observaciones de una variable, ordenadas según transcurre el tiempo.

En una serie de tiempo las observaciones no se deben ordenar de mayor a menor debido a que se perdería el grueso de la información debido a que nos interesa detectar como se mueve la variable en el tiempo es muy importante respetar la secuencia temporal de las observaciones.

 Representación de una Serie Temporal

Par realizar la representación de una serie y temporal se debe realiza mediante una gráfica de dispersión x-y como se muestra en la figura.

 Componetes de una serie temporal

 Tendencia

La tendencia es un movimiento de larga duración que muestra la evolución general de la serie en el tiempo.

La tendencia es un movimiento que puede ser estacionario o ascendente, y su recorrido, una línea recta o una curva. Algunas de las posibles formas son las que se muestran a continuación.

Fig.2. Representación de la tendencia

La tendencia es un movimiento que puede ser estacionario o ascendente o descendente como se indica.

Fig. 3 Tendencias ascendente, estacionaria y descendente

También son posibles algunas formas para la tendencia, que no necesariamente tiene una distribución de puntos en forma aproximadamente lineal sino como las que se muestran en la figura.

 Variaciones estacionales.

Se habla de este tipo de variaciones usualmente cuando el comportamiento de la variable en el tiempo en un periodo esta relacionado con la época o un periodo particular, por lo general en el espacio cronológico presente.

 Variaciones cíclicas

Se llama así a las oscilaciones a lo largo de una tendencia con un periodo superior al año. El ciclo sugiere la idea de que este tipo de movimiento se repite cada cierto periodo con característica parecida. Los ejemplos mas frecuentes se encuentran en le campo de las variables económicas, en estos casos se deben principalmente a la alternancia de las etapas de prosperidad y depresión en la actividad económica.

 

 Variaciones residuales

Cuando a parecen hechos imprevistos, repentinos que afecten las variables en estudio que no podemos proveer nos hallamos frente a variaciones residuales provocadas peores factores externas a aleatorios.

Por ejemplo un día lluvioso y frio durante los veranos es difícil de predecir y aunque perturbaría ciertas actividades diarias como la venta de helados no afectaría en este caso significativamente la serie.

COMENTARIO

En las series de tiempo nos podemos dar cuenta que consta de varias clases de series ya se crecientes o decrecientes, estacionarias y no estacionarias.

PARÁMETROS EN UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL

Cada una de las dos variablesx, y de una distribución bidimensional tiene sus propios parámetros. Para el estudio de la correlación se necesitan sus medias, , , y sus desviaciones típicas, σx, σy. Hay además un nuevo parámetro, σxy, llamado covarianza, que sirve para medir el grado de relación entre las dos variables: cómo varía cada una con relación a la otra. La covarianza de una distribución bidimensional de n individuos dados por los pares de valores (x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn), se calcula mediante la fórmula siguiente:  La segunda expresión es más cómoda de aplicar cuando las medias , , no son números enteros. El coeficiente de correlación, r, se obtiene dividiendo la covarianza por el producto de las desviaciones típicas:  Este parámetro no tiene dimensiones. Por ejemplo, si la variable x es una longitud y la y un peso, los valores  y σx son longitudes, y sus valores varían según que los datos estén dados en centímetros, en metros…; los valores de  yσy son pesos, y sus valores varían según las unidades en que se expresen los datos; la covarianza, σxy, es el producto de una longitud por un peso, y su valor varía según las unidades en que se den xi, yi; sin embargo, el coeficiente de correlación es un número abstracto cuyo valor no depende de las unidades en que se hallen los valores de las variables. Además, el hecho de que r tome valores entre –1 y 1 (-1 ≤ r ≤ 1) hace que resulte muy cómodo interpretar sus resultados. Por todo ello, r es un parámetro sumamente adecuado para calcular la correlación entre dos variables estadísticas. A continuación, a modo de ejemplo, se realiza el cálculo de los parámetros estadísticos para hallar la correlación de la siguiente distribución dimensional:  Se empieza situando los datos de modo que resulte sencillo hallar las columnas xi2, yi2, xiyi:  Las sumas de las columnas son: Σxi = 26 ; Σyi = 31 ; Σxi2 = 158 ; Σyi2 = 213 ; Σxiyi = 176 Con estos resultados se obtienen los parámetros del siguiente modo:                                         REGRESIÓN Se llama recta de regresión a una recta que marca la tendencia de la nube de puntos. Si la correlación es fuerte (tanto positiva como negativa) y, por tanto, los puntos de la nube están próximos a una recta, ésta es la recta de regresión. Matemáticamente hay dos rectas de regresión, la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y. La recta de regresión de Y sobre X es aquella y = ax + b para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones en el sentido de las ordenadas de cada punto a ella es mínima.  Al obligar a que Σdi2 = Σ(yi – axi – b)2 sea mínima, se obtiene la ecuación  La recta de regresión de X sobre Y es aquella para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones en el sentido de las abscisas de cada punto a ella es mínima.  Su ecuación es  Las rectas de regresión tienen las siguientes peculiaridades: • Ambas pasan por el punto (,) llamado centro de gravedad de la distribución.  • Los valores  se llaman coeficientes de regresión de Y sobre X y de X sobre Y, respectivamente. Las pendientes de las rectas de regresión son byx y 1/byx. • Cuando la correlación es fuerte, las dos rectas de regresión son muy próximas (son la misma si r = ±1). Si la correlación es débil, las dos rectas de regresión forman un ángulo grande. • Cuando |r| es próximo a 1 la recta de regresión sirve para realizar estimaciones fiables de una de las variables para nuevos valores de la otra variable.    COMENTARIO :   En esta se contemplan valores supuestos que se obtienen  al comparar 2 variables obteniendo resultados a partir de una variable ya conocida será 1 en 2 cuando se obtiene la segunda partiendo de la primera y 2 en 1 obteniendo la segunda partir de la primera.

   

Distribución bidimensional

Distribución bidimensional, distribución estadística en la que intervienen dos variables, x e y, y, por tanto, a cada individuo le corresponden dos valores, x_i, y_i. Estos dos valores se pueden considerar como coordenadas de un punto (x_i, y_i) representado en un diagrama cartesiano. Así, a cada individuo de la distribución le corresponderá un punto, y toda la distribución se verá representada mediante un conjunto de puntos.

Por ejemplo, supongamos que si a los cinco hijos, A, B, C, D y E, de una familia se les pasan unas pruebas que miden la aptitud musical (Mu) y la aptitud para las matemáticas (Ma), se obtienen los siguientes resultados: 

Esta tabla es una distribución bidimensional porque intervienen dos variables: valoración Mu, valoración Ma. A cada individuo le corresponden dos valores: A(5,6), B(7,10), C(4,5), D(8,6), E(2,4). De este modo se asocia a cada individuo un punto en un diagrama cartesiano: 

CORREALCION:

Esta representación gráfica de una distribución bidimensional se llama nube de puntos o diagr Correlación, en estadística, relación entre las dos variables de una distribución bidimensional. Se mide mediante el coeficiente de correlación, r.

Si los datos de la distribución son (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x_{n,yn), el coeficiente de correlación se obtiene mediante la fórmula:} 

en donde σ_xy es la covarianza, y σ _x, σ _y son las desviaciones típicas de las dos variables.

El valor del coeficiente de correlación oscila entre –1 y 1 (-1 ≤ r ≤ 1). En cada caso concreto, el valor de r indica el tipo de relación entre las variables x e y.

Cuando |r|es próximo a 1, la correlación es fuerte, lo que significa que las variaciones de una de las variables repercuten fuertemente en la otra. Mientras que si |r|es próximo a 0, la correlación es muy débil y las variables están muy poco relacionadas.ama de dispersión.

Entre las dos variables que determinan una distribución bidimensional puede existir una relación más o menos estrecha que se llama correlación, y se puede medir mediante el coeficiente de correlación, r, que es un número, asociado a los valores de las dos variables. El coeficiente de correlación puede valer entre -1 y 1.

Cuando r = 1 existe una relación funcional entre las dos variables de modo que el valor de cada variable se puede obtener a partir de la otra. Los puntos de la nube están todos situados sobre una recta de pendiente positiva. 

Esto ocurre, por ejemplo, cuando una barra metálica se somete a distintas temperaturas, x₁, x₂,…, x_n, y se miden con precisión sus correspondientes longitudes, y₁, y₂,…, y_n. Las longitudes se obtienen funcionalmente a partir de las temperaturas de modo que, conociendo la temperatura a que se va a calentar, se podría obtener la longitud que tendría la barra.

Cuando r es positivo y grande (próximo a 1) se dice que hay una correlación fuerte y positiva. Los valores de cada variable tienden a aumentar cuando aumentan los de la otra. Los puntos de la nube se sitúan próximos a una recta de pendiente positiva. 

Es el caso de las estaturas, x₁, x₂,…, x_n, y los pesos, y₁,y₂,…, y_n, de diversos atletas de una misma especialidad. A mayor estatura cabe esperar que tengan mayor peso, pero puede haber excepciones.

Cuando r es próximo a cero (por ejemplo, r = -0,12 o r = 0,08) se dice que la correlación es muy débil (prácticamente no hay correlación). La nube de puntos es amorfa. 

Es lo que ocurriría si lanzáramos simultáneamente dos dados y anotáramos sus resultados: puntuación del dado rojo, x_i; puntuación del dado verde, y_i. No existe ninguna relación entre las puntuaciones de los dados en las diversas tiradas.

Cuando r es próximo a -1 (por ejemplo, r = -0,93) se dice que hay una correlación fuerte y negativa. Los valores de cada variable tienden a disminuir cuando aumentan los de la otra. Los puntos de la nube están próximos a una recta de pendiente negativa. 

Si en un conjunto de países en vías de desarrollo se miden sus rentas per cápita, x_i, y sus índices de natalidad, y_i, se obtiene una distribución de este tipo, pues suele ocurrir que, grosso modo, cuanto mayor sea la renta per cápita menor será el índice de natalidad.

Cuando r = -1 todos los puntos de la recta están sobre una recta de pendiente negativa. Existe una relación funcional entre las dos variables. 

 

COMENTARIO

 

Es muy importante en el presente curso pues en ella se puede encontrar la igualdad que existe en dos variables de un mismo fenómeno si se encuentran  dispersos las dos en forma lineal sera una correlacion lineal y dicha linea es imaginaria.